비열(Cp>Cv)의 증명 & 맥스웰(Maxwell) 방정식 증명

◈ Cp>Cv의 증명

 

'이상기체'에서만 가능

 

열역학 제 1법칙 :  dE=dq+dw

                                 dw=dw(mech)+dw'(non-mech)= -Pex+dw'

                                 dE=dq-Pex+dw'

 

1) 일정 부피(V)에서 dw'=0이라고 가정하면

      dV=0

     dEv=dqv=CvdT

     ∴ Cv=(dE/dT)v

 

2) 일정 압력(P)에서 dw'=0이라고 가정하면

     Pex=Psys

     dEp=dqp-PdV → dqp=dEp+PdV=d(E+PV)=dH=CpdT

    ∴ Cp=(dH/dT)p

 

 

E=3nRT/2=3PV/2

H=E+PV=5PV/2=5nRT/2

Cv=(∂E/∂T)v=3nR/2

Cp=(∂H/∂T)p=5nR/2

 

∴ Cp=Cv+nR      =>     Cp>Cv

 

 

 

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◈ 맥스웰(Maxwell) 방정식 증명

 

① dE=(∂E/∂S)ds+(∂E/∂V)dV+(∂E/∂y)dy

 

(∂E/∂S)=T, (∂E/∂V)=-P, (∂E/∂y)=X

 

∂/∂S(∂E/∂V)=∂/∂V(∂E/∂S)

 

∴ (∂T/∂V)=-(∂P/∂S)

 

 

② dH=(∂H/∂S)ds+(∂H/∂P)dp+(∂H/∂y)dy

 

(∂H/∂S)=T, (∂H/∂P)=V, (∂H/∂y)=X

 

∂/∂S(∂H/∂P)=∂/∂P(∂H/∂S)

 

∴ (∂V/∂S)=(∂T/∂P)

 

 

③ dA=(∂A/∂V)dv+(∂A/∂T)dT+(∂A/∂y)dy

 

(∂A/∂S)=-P, (∂A/∂P)=-S, (∂A/∂y)=X

 

∂/∂V(∂A/∂T)=∂/∂T(∂A/∂V)

 

∴ (∂S/∂V)=(∂P/∂T)